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07/02/08 12:18
앞의 식의 3차식이므로 f(x)는 5차식입니다. 그래야 풀어서 8차식이 나오겠죠. 앞에 있는 식의 상수항이 -1인데, 뒤의 식은 +1이므로 f(x)의 상수항은 -1입니다. 즉 f(x)=ax^5+어쩌고-1 인데, 중간의 식을 적당히 만들어서(cx^4+dx^3+ex^2+fx) 전개 한다음에 계수 비교하면 될것 같은데 -_-
솔직히 저렇게 풀라고 만든 문제가 아닙니다. 딱 봐도 x에다 1이랑 i 집어 넣어서 풀면 끝나는 문제지요. 고교 수준의 대부분의 항등식의 풀이는 수치대입법으로 푸는 거죠. 계수비교법으로 풀면 캐고생하게 됩니다.
07/02/08 12:18
예.. 말씀을 드려보겠습니다.
먼저 f(x)는 구할수가 없습니다. (뭐 있는지는 몰라도 전 문과라 제 풀이방법 뿐이 모르겠네요.) 구하는 식입니다. 1) x=1일경우(좌변을 0으로 만들어주어야 하므로) 그렇게 될 경우 0x2xf(1)=a+b+1이 됩니다. 고로 a+b+1=0, a+b=-1이 됩니다. 2) x=i인경우,(단 i^2=-1) (x-i)x0xf(i)=axi^8+bxi^2+1 0 = a-b+1 a-b=-1 그러므로, a+b=-1 a-b=-1 을 연립해서 풀면 a=-1, b=0
07/02/08 12:18
동일인입니다 ^^;
좌변에 f(x) 역시 다항식입니다. 그런데 어떤 형태로 되어 있는지 알 수가 없습니다. 그러므로 좌변을 전개하는 것은 불가능 합니다. 그런데 우변을 보면 최고차항이 8차임을 알 수 있습니다. 그러므로 f(x)는 대략 5차식이다 정도까지는 유추가 가능합니다. 하지만 구체적인 전개가 불가능하고, 5차 다항식의 모든 계수를 미지수로 처리하면 미지수가 총 7개가 나오므로 불가능합니다.(5차 방정식 이상은 일반해가 나올 수 없습니다 - 대수학에 있는 내용이지만 그냥 그러려니 하세요^^;) 그러므로 전개를 한다는가 해서 좌우변을 계수비교하는 것 자체가 불가능합니다. 좌우변은 항등식이니 모두 8차식이구요^^; 그런데 좌변을 보면, 인수분해가 된 것을 알 수 있습니다. 그러므로, 나머지 정리를 이용하면, (x-1)에서 x=1을 대입하면 좌변이 0이 됨을 알 수 있습니다. 정리하면, if x=1, 0=a*(1)^8+b*(1)^2+1 -> a-b=-1이 됩니다. (1) 또한 (x^2+1)항을 보면 실근은 존재하지 않지만 복소수 영역에서 x=i or -i를 해로 가짐을 알 수 있습니다. 그러므로 그 중 하나인 x=i를 대입하면, 좌변은 다시 0이 됩니다. 정리하면, if x=i, 0=a*(i)^8+b*(i)^2+1 --> a-b=-1 (2)이 나옵니다. (1),(2) 둘을 모두 정리하면 a+b=-1 a-b=-1 --> a=-1. b=0이 되므로 ab=0입니다. 아래 리플 중에 미분해서 푸신다는 분이 계신데, 이건 엄밀하게 말해서 현대 대수 영역이므로 미분하면 안됩니다. (다항식이라 미분이 불가능한건 아닌데, 미분해서 풀 이유가 전혀 없습니다.) 도움이 되시길..^^; cf. 계수비교법은 아주 특수하고 쉬운 상황에만 쓸 수 있습니다. 대개 나머지 정리나 이에 파생된 수치대입법을 이용하니 참고하세요~ (왜 그런지는 대수학 영역이므로 설명 생략^^;;) 다시 보니, 8차식에 미지수는 7개이므로 풀 수는 있겠군요. 근데 하진 마세요. 풀이방법은 간단할수록 잘 푼겁니다.
07/02/08 14:51
고 1 새로 올라가시는 학생이신가요?
미정계수법 (항등식에서 미정계수를 결정하는 방법)은 크게 계수비교법과 수치대입법 두가지가 있죠. 계수비교법은 다항식을 전개하여 좌우변의 같은 차수의 항은 계수를 서로 같게 놓고 문제를 푸는 것이고, 수치대입법은 몇개의 수치값을 대입하여 미정계수들의 연립방정식을 푸는 것인데요. 지금 문제는 식이 고차식이고 좌변의 전개가 불가한 상황이므로 수치대입법을 쓸 수 밖에 없습니다. 좌변을 0으로 만드는 x 값은 1과 i가 있으므로 이 두 값을 대입해서 a, b에 관한 2원1차 연립방정식을 풀면 되겠네요. 계수비교법과 수치대입법만 알면 어렵지 않은 문제인데, i를 넣어야 한다는 것 때문에 어려워 할 수도 있겠네요.
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