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08/09/25 12:02
이게 고등학교 레벨로 풀 수 있는 문젠가요??
아니면 정석만의 놀라운 방법 뭐 이런게 있는 건가;; 제가 일단 생각나는 건 테일러 익스펜션을 이용한 것 밖에 안 떠오르네요. f(x) = Sigma n=1 {infinity} (1/n (x)^n) 라고 잡습니다.
양변을 미분하면 f'(x) = Sigma n=1 {infinity} ((x)^(n-1))
= Sigma n=0 {infinity} ((x)^n)
= 1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1/(1-x) ( 단, |x| < 1 에서 수렴 ) 이렇게 됩니다. 그러면 양변을 적분해서 f(x) 를 구해야죠. f(x) = -ln(1-x) + C 가 되구요, 원래 식에서 f(0) = 0 이 되야 하니까, f(0) = -ln(1-0) + C = C = 0 이어서 C = 0 이 됩니다. 따라서 Sigma n=1 {infinity} (1/n (2/3)^n) = f(2/3) = -ln(1-2/3) = -ln(1/3) = ln3
ln3 이 답이군요.
08/09/25 12:09
수열의 합에 극한을 때리는(?) 루트로 푸시면 될 것 같습니다.
원래 수열의 합을 S로 놓고 공비 2/3=r; 에 합을 곱한 rS를 빼시면 (1/3)S = 1*(2/3) + ((1/2)-1)(2/3)^2 + ((1/3)-(1/2))(2/3)^3 + ... + ((1/n)-(1/(n-1)))(2/3)^n - (1/n)(2/3)^(n+1)
이 나오는데 안에서 (2/3)을 빼서 묶어내면 (1/3)S = 1*(2/3) + (2/3) ((1/2)-1)(2/3)^1 + ((1/3)-(1/2))(2/3)^2 + ... + ((1/n)-(1/(n-1)))(2/3)^(n-1) - (1/n)(2/3)^(n+1)
그리고 안의 수열을 살펴보면 (2/3)^n의 각 항에 (1/n)-(1/n-1)이 곱해지는 것을 알 수 있는데 이 식을 풀면 -1/(n)(n+1)입니다. 이 수열의 합을 부분분수의 합( 1/(A*B) = (1/(B-A)) (1/A) - (1/B) )을 이용하여 합을 구하시면 그합을 T라 놓고
(1/3)S = 2/3 + (2/3)T - (1/n)(2/3)^(n+1) S = 2 + 2T - (2/n)(2/3)^(n+1) lim S = 2 + 2 lim T - 0 = 2 + 2 lim T 인데 T가 잘 안구해지네요 -_-;; 잘못 풀었나.. 으윽.. 수능에서 이과만 풀수 있는 무한급수 문제가 있다는건 들은적이 없는 것 같습니다만.. 컴퓨터로 푸니까 뭔가 오류가 있었을지도 모르겠네요오.. 도움이 못되어드려 죄송합니다 ㅠ ㅠ
08/09/25 13:27
그냥 답이 ln3 인데 뭔가 다른 방법이 있나요 -_-? 제가 기억하기로 고등학교 레벨에서 ln3 을 만들어내는 방법은 없는 걸로 아는데...
08/09/25 20:29
고교레벨에서 풀 수 있는 문제인 것 같은데요. 방법은 맨윗분이 설명하신대로.
f(x) 정의하고 미분한다음에 도로 적분해서 2/3 대입하면 과정 전부 고교 교육과정 내에 있어요. 솔직히 고등학생한테 풀라고 시킬 문제가 아니긴 하지만요... 근데 가끔 있습니다 이정도 문제.
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