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09/05/19 20:47
det ( e^A) = e^(tr(A)) 라서 우변이 절대 0이 될수가 없습니다.
증명방법은 A와 similar한 upper-triangular matrix를 생각하시면 될 것 같습니다. (더 자세한 방법이 필요하시면 말씀하세요.)
09/05/19 21:12
Peter Sarnak님// 정말 감사합니다 ㅠㅠ similar 개념을 배우기 전에 내준 숙제라
detA는 A의 eigenvalue들의 곱으로 나타난다는 성질을 쓰면 될것같네요
09/05/19 21:19
예 맞는 말씀이지만 vector space의 dimension의 개수와 같은 linearly independent eigenvector가 있지 않으면 곤란하거든요.
(예를 들면 (1 1) 같은 2*2 matrix가 그렇네요.) (0 1) 그래서 일반적인 모든 경우에 해당되는 말씀을 드렸습니다. similar하다는건 진도에 상관없이 A 대신에 upper-triangular한 BAB^(-1) 이런 matrix를 생각한다는 개념이라 괜찮을것 같습니다만..
09/05/19 21:40
음..어렵네요 아직 similar를 조금밖에 안배운지라..
숙제를 뒤져보니 이미 A는 n by n matrix에 eigenvalue가 n 개라는데 distinc하다는 말이 없긴하네요.. "vector space의 dimension의 개수와 같은 linearly independent eigenvector"가 없으면 detA는 A의 eigenvalue들의 곱으로 나타난다는 성질을 써서 증명하는데에 문제가 생기나요?
09/05/20 00:15
det ( e^A) = e^(tr(A)) 를 증명하는게 어려워지죠.
예를 들어 A가 diagonal matrix라면 저게 성립하는걸 쉽게 보이실 수 있을겁니다. upper-triangular인 경우도 마찬가지구요. 어떻게 증명을 하려고 하셨는지 쓰셔야 문제가 있는지 볼 수 있을것 같네요.
09/05/20 06:21
eigenvalue가 n개면 당연히 서로 다른 수이니 대응되는 eigenvector가 n개 있겠네요.
eigenvalue c_i에 대응되는 벡터 v_i에 대해 (e^A) v_i = (e^c_i) v_i 를 보이시면 됩니다. 이렇게 쓰고 보니 그냥 그런 조건 없이도 되는거네요. eigenvector는 항상 존재하니까.(복소수 위에서)
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