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08/02/04 18:19
주어진 조건에서 x2 가 0 이 아니고, f(x2) 가 0 이 아니므로
x=x1, y=x1/x2로 치환하고 주어진 식 정리하면 f(xy)=f(x)f(y)의 형태가 됩니다. (x,y는 실수) f의 범위를 다항함수로 한정하면 (아닌 경우에는 어떻게 증명해야 될 지 잘 모르겠네요) f는 일차함수여야 하고 (좌우변의 차수가 같아야 하는게 등식이 성립하기 위한 필요조건이므로) f(x)=a+bx라 하면 윗 식을 만족하기 위해서는 a=1, b=0이 되어야 합니다.
08/02/04 22:07
x1=0을 대입하면 f(0)/f(x2)=f(0) 이므로 f(0)=0 이거나 f(x2)=f(x)=1 입니다.
만약 f(0)=0 이라면, x2=1을 대입하면, f(1)=1 이 나오고, x1=1을 대입하면, 1/f(x)=f(1/x) 이고 즉 1/f(x)=f(x/x^2)=f(x)/f(x^2) 즉 f^2(x)=f(x^2)=f(x^(n+2))/f(x^n) 즉 f(x^n)=f^n(x) 이런식으로 지수가 안과 밖으로 치환가능한 함수는 지수함수밖에 없으므로(이런식으로 정당화시켜도 될지는 모르겠지만), f(x)= x^k (k는 실수) 입니다.
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