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08/03/15 21:51
황금비는 정확히 ( 1 + sqrt5 )/2 입니다.
한변의 길이와 정오각형의 대각선이 황금비를 이루며, 이것을 사용해서 작도할 수 있습니다. 모르는 상태에서 작도하시겠다는게 무슨 의미인줄 잘 모르겠는데;; 어쨋든 황금비를 사용해서 작도해야 합니다. 정오각형의 한변과 그 대각선의 길이의 비가 황금비라는 건 쉽게 증명할 수 있습니다. 정오각형의 밑변과 가장 위 꼭지점으로 이루어진 이등변 삼각형의 각의 크기가 72, 72, 36도인데 이 때 이 삼각형의 72도짜리 각 하나에 각을 이등분 하는 선을 그으면 이 이등변삼각형이 36/72/72 짜리 삼각형 하나와 36/36/108 짜리 삼각형 하나로 나뉘어 집니다. 이 때 밑변의 길이를 1이라고 하면 세 개의 선분의 길이가 1이 되고 옆으로 뉘어진 이등변 삼각형의 72/72 각 사이에 있는 변의 길이를 x 라고 하면 닮음에 의해서 x+x^2 = 1 이 됩니다. 이 방정식의 양수 해가 하나 밖에 없는데 그 값이 (sqrt5 - 1)/2 입니다. 따라서 큰 이등변 삼각형의 변의 길이는 (1 + sqrt5)/2 가 됩니다.
08/03/15 21:58
이제 선분 하나를 그리고 그 선분의 길이를 1이라고 합니다. 그런 다음에 ( 1 + sqrt 5 )/2 를 작도하면 됩니다.
일단 선분을 연장해서 5배짜리 선분을 옆에 붙여서 그려봅니다. _ <- 원래 길이 1짜리 _ _ _ _ _ _ <- 붙여서 그린 것 ( 1 + 5 ) 그 다음에 저 6짜리 선분을 지름으로 하는 반지름 3짜리 원을 그립니다. 물론 저 선분의 중심(길이가 3이 되는 위치)를 원의 중심으로 잡아야 됩니다. 그 다음 길이 1/길이 5 선분이 만나는 위치에서 수직선을 그립니다. | _| _ _ _ _ _ 그러면 수직선과 원이 만나서 이루는 선분이 생기는데, 이 선분의 길이가 sqrt 5 가 됩니다. ( 중3때인가 배우는 원의 할선의 특징이죠 ) 이제 sqrt 5 를 가지는 선분을 얻었으니, 이 sqrt 5 선분과 길이 1의 선분을 이어서 그려서 1+sqrt5 길이의 선분을 얻은 다음에 그 선분을 반으로 쪼갭니다. 이 선분이 길이 ( 1 + sqrt 5 )/2 의 선분입니다. 이제 이 선분을 반지름으로 하고 원의 중심이 밑변(길이1짜리 선분) 의 양쪽 끝 꼭지점으로 하는 두 개의 원을 그립니다. 두 원이 만나는 위치가 정오각형의 위쪽 꼭지점이 됩니다. 그 다음은 뭐.... 위쪽 꼭지점에서 반지름1짜리 원을 그리고, 밑변의 양쪽 끝 꼭지점에서 역시 반지름1짜리 원을 그리면 위쪽 꼭지점을 중심으로 가진 원과 밑변의 한 꼭지점을 중심으로 가지는 원이 만나는 점들이 생깁니다. 이 점들이 정오각형의 나머지 꼭지점입니다.
08/03/15 22:02
뭐 벗어나는 얘기지만 가우스는 젊었을 때 정 17각형의 작도법을 발견하고 수학자가 되기로 결심했다고 하네요. 이론적으로 정 65537각형 역시 작도할 수 있으며 ( 이론적으로 -_- ) 일반적으로 x를 x=2^(2^n) + 1 꼴의 소수라고 했을 때, 정 (x * 2^m) 각형을 작도할 수 있음이 증명되어 있습니다. (m 은 음이 아닌 정수)
08/03/16 01:31
외람되지만...눈금없는자와 각도기가 아니라, 눈금없는자와 컴파스가 아닐까요-_-?
눈금없는자와 각도기로 그릴수잇는건 딱 정삼각혐뿐입니다.
08/03/16 13:38
확실히.. 작도는 눈금없는 자와 컴퍼스로 하는걸로 알고 있습니다.. (아니라면 각을 3는분 하는 작도도 가능 하겠지요.)
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